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 ====== Automatique ======
+===== À retenir =====
+  * PID
+  * LQ
+  * représentation d'état
+  * transformée en Z
+  * diagramme de Bode, de Nyquist
+  * filtre
+  * FTBO / FTBF
+  * filtre de Kalman
+  * temps discret / temps continu
+  * commande par retour d'état
+  * système stabilisable / commandable
+  * forme de commandabilité / d'observabilité
+  * bloqueur d'ordre zéro
+  * approximation par euler avant
+  * discrétisation exacte
+  * représentation minimale
+  * conditions de stabilité (temps discret module <1, temps continue partie réelle <0)
+===== Représentation d'état et formes compagnon =====
+  * x vecteur d'état
+  * u vecteur de commande
+  * y vecteur de mesure
+  * A matrice d'état
+  * B matrice de commande
+  * C matrice d'observation
+  * D matrice de transmission directe
+vecteur d'état à temps continu $ x(t) = \left( \! \begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ x(t) \end{array} \! \right) $
+équation du système à temps continu $ \left\lbrace \begin{array}{ll} \dot{x}(t) & = Ax(t) + Bu(t) \\ y(t) & = Cx(t) + Du(t) \end{array} \right. $
+matrice de transfert à temps continu $ H(p) = C(pI - A)^{-1}B + D$
+vecteur d'état à temps discret $ x_k = \left( \! \begin{array}{c} x_{k+1} \\ x_k \end{array} \! \right) $
+équation du système à temps discret $ \left\lbrace \begin{array}{ll} x_{k+1} & = Ax_k + Bu_k \\ y_k & = Cx_k + Du_k \end{array} \right. $
+==== Forme commandable ====
+$A=\left( \begin{array}{ccccc}
+-a_{n-1} & -a_{n-2} & \cdots & -a_{1} & -a_{0} \\
+& 0 & \cdots & 0 & 0 \\
+& 1 & \cdots & 0 & 0 \\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+& 0 & \cdots & 1 & 0 \\
+\end{array} \right)$
+$B=\left( \begin{array}{c}
+\\0\\\vdots\\0\\0
+\end{array}\right)$
+$C=\left(\begin{array}{ccccc}b_{n-1} & b_{n-2} & \cdots & b_{1} & b_{0} \end{array}\right)$
+Matrice de commandabilité (ci-dessous) de rang plein → système commandable
+${\cal C} = [B\quad AB\quad A^2B\quad \cdots\quad A^{n-1}B]$
+==== Forme observable ====
+$A=\left( \begin{array}{ccccc}
+-a_{n-1} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
+-a_{n-2}  & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+-a_{1} & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
+-a_{0} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
+\end{array} \right)$
+$B=\left( \begin{array}{c}
+b_{n-1}\\b_{n-2}\\\vdots\\b_1\\b_0
+\end{array}\right)$
+$C=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right)$
+Matrice d'observabilité (ci-dessous) de rang plein → système observable
+${\cal O} = \left[\! \begin{array}{c}
+C\\CA\\CA^2\\\vdots\\CA^{n-1} \end{array} \!\right]$
+===== Le correcteur PID =====
+Fonction de transfert
+$ H(p)=K_P\left( 1+\frac{1}{T_i p} + \frac{T_d p}{1+\tau_dp}\right) $
+valeur typique : $ \tau_d=T_d/10 $
+===== La commande LQ =====
+Critère LQ : $ J(u) = \sum_{k\leq 0}x_k^TQx_k+u_k^TRu_k $, avec Q semi définie positive, R strictement positive
+Théorème (version détaillée sur [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Commande_LQ|Wikipedia]])
+Selon ce critère, l'équation de Ricatti algébrique discrète admet une solution P unique, symétrique et positive.
+La loi de commande $u = -Kx + v$ stabilise le système et est optimale au sens de J avec $K = (B^TPB+R)^{-1}B^TPA$

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