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fiches:automatique
Différences
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fiches:automatique [2016/04/07 20:48] hugo |
fiches:automatique [2019/11/13 18:38] (Version actuelle) |
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|---|---|---|---|
| Ligne 11: | Ligne 11: | ||
| * filtre de Kalman | * filtre de Kalman | ||
| * temps discret / temps continu | * temps discret / temps continu | ||
| + | * commande par retour d'état | ||
| + | * système stabilisable / commandable | ||
| + | * forme de commandabilité / d'observabilité | ||
| + | * bloqueur d'ordre zéro | ||
| + | * approximation par euler avant | ||
| + | * discrétisation exacte | ||
| + | * représentation minimale | ||
| + | * conditions de stabilité (temps discret module <1, temps continue partie réelle <0) | ||
| - | ===== Représentation d'état ===== | + | ===== Représentation d'état et formes compagnon ===== |
| - | vecteur d'état $ x = \left( \! \begin{array}{c} . \\ . \end{array} \! \right) $ | + | * x vecteur d'état |
| + | * u vecteur de commande | ||
| + | * y vecteur de mesure | ||
| + | * A matrice d'état | ||
| + | * B matrice de commande | ||
| + | * C matrice d'observation | ||
| + | * D matrice de transmission directe | ||
| - | équation du système $ \left\lbrace \begin{array}{ll} x_{k+1} & = Ax_k + Bu_k \\ y_k & = Cx_k \end{array} \right. $ | + | vecteur d'état à temps continu $ x(t) = \left( \! \begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ x(t) \end{array} \! \right) $ |
| + | équation du système à temps continu $ \left\lbrace \begin{array}{ll} \dot{x}(t) & = Ax(t) + Bu(t) \\ y(t) & = Cx(t) + Du(t) \end{array} \right. $ | ||
| + | |||
| + | matrice de transfert à temps continu $ H(p) = C(pI - A)^{-1}B + D$ | ||
| + | |||
| + | vecteur d'état à temps discret $ x_k = \left( \! \begin{array}{c} x_{k+1} \\ x_k \end{array} \! \right) $ | ||
| + | |||
| + | équation du système à temps discret $ \left\lbrace \begin{array}{ll} x_{k+1} & = Ax_k + Bu_k \\ y_k & = Cx_k + Du_k \end{array} \right. $ | ||
| + | |||
| + | ==== Forme commandable ==== | ||
| + | |||
| + | $A=\left( \begin{array}{ccccc} | ||
| + | -a_{n-1} & -a_{n-2} & \cdots & -a_{1} & -a_{0} \\ | ||
| + | 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ | ||
| + | 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ | ||
| + | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ | ||
| + | 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ | ||
| + | \end{array} \right)$ | ||
| + | $B=\left( \begin{array}{c} | ||
| + | 1\\0\\\vdots\\0\\0 | ||
| + | \end{array}\right)$ | ||
| + | |||
| + | $C=\left(\begin{array}{ccccc}b_{n-1} & b_{n-2} & \cdots & b_{1} & b_{0} \end{array}\right)$ | ||
| + | |||
| + | Matrice de commandabilité (ci-dessous) de rang plein → système commandable | ||
| + | |||
| + | ${\cal C} = [B\quad AB\quad A^2B\quad \cdots\quad A^{n-1}B]$ | ||
| + | |||
| + | ==== Forme observable ==== | ||
| + | |||
| + | $A=\left( \begin{array}{ccccc} | ||
| + | -a_{n-1} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ | ||
| + | -a_{n-2} & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ | ||
| + | \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ | ||
| + | -a_{1} & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ | ||
| + | -a_{0} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ | ||
| + | \end{array} \right)$ | ||
| + | $B=\left( \begin{array}{c} | ||
| + | b_{n-1}\\b_{n-2}\\\vdots\\b_1\\b_0 | ||
| + | \end{array}\right)$ | ||
| + | |||
| + | $C=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right)$ | ||
| + | |||
| + | Matrice d'observabilité (ci-dessous) de rang plein → système observable | ||
| + | |||
| + | ${\cal O} = \left[\! \begin{array}{c} | ||
| + | C\\CA\\CA^2\\\vdots\\CA^{n-1} \end{array} \!\right]$ | ||
| ===== Le correcteur PID ===== | ===== Le correcteur PID ===== | ||
| Ligne 29: | Ligne 89: | ||
| ===== La commande LQ ===== | ===== La commande LQ ===== | ||
| - | Critère LQ $ J(u) = \sum_{k\leq 0}x_k^TQx_k+u_k^TRu_k $ | + | Critère LQ : $ J(u) = \sum_{k\leq 0}x_k^TQx_k+u_k^TRu_k $, avec Q semi définie positive, R strictement positive |
| + | |||
| + | Théorème (version détaillée sur [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Commande_LQ|Wikipedia]]) | ||
| - | avec Q semi définie positive, R strictement positive | + | Selon ce critère, l'équation de Ricatti algébrique discrète admet une solution P unique, symétrique et positive. |
| + | La loi de commande $u = -Kx + v$ stabilise le système et est optimale au sens de J avec $K = (B^TPB+R)^{-1}B^TPA$ | ||
fiches/automatique.1460054939.txt.gz · Dernière modification: 2016/11/09 15:53 (modification externe)
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