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====== Interaction Lumière Matière ======

équation de taux pour les laser

$ \frac{d\Pi_e}{dt} = -A\Pi_e + \frac{\sigma I}{\hbar\omega}(\Pi_f-\Pi_e) $

état atomique

$\langle\hat{d}\rangle=\langle\psi(t)|\hat{d}|\psi(t)\rangle = d(u\cos\omega t+v\sin\omega t)$

$w=\Pi_e(t)-\Pi_f(t)$

vecteur de Bloch $ \left| \begin{array}{l} u \\ v \\ w \end{array} \right. $ dont les composantes sont liées par l'équation

$\left\lbrace \begin{array}{c l l l}
\frac{du}{dt} = & -\delta v & & -\gamma du \\
\frac{dv}{dt} = & +\delta u & + \Omega\omega & -\gamma dv \\
\frac{dw}{dt} = & -\Omega v & & -\gamma_p(w-w_0)
\end{array} \right.$

où l'on note  
  * $\delta$ le désaccord $w-w_0$  
  * $\gamma_d$ le taux de relaxation du dipôle = $\Gamma/2$ 
  * $\gamma_p$ le taux de relaxation de la population 
  * $w_0$ la valeur de $w$ avant l'application du champ

dans le cas de l'émission spontanée, solution stationnaire
  * $w=\frac{w_0}{1+s}$
  * $u=-w_0\frac{2\delta}{\Omega}\frac{s}{1+s}$
  * $v=w_0\frac{\Gamma}{\Omega}\frac{s}{1+s}$

où $s=\frac{\Omega^2/2}{\delta^2+\Gamma^2/4}$ paramètre de saturation

taux d'émission spontanée (quantification du vide en électrodynamique quantique)

$\Gamma = \frac{d^2k^3}{3\pi\epsilon_0\hbar}$

Résumé

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