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====== Optique des ondes guidées ======

===== À connaître =====

  * équations de Maxwell
  * conditions aux limites du guide : continuité et continuité de la dérivée
  * approximation de guidage faible $\Delta = \frac{n_1-n_2}{n_1} \simeq 0 $
  * résolution graphique pour les modes propageants 
  * notations normalisées
    * $ u = \alpha d/2 $ constante de propagation transverse réduite
    * $ v = \kappa d/2 $ coefficient d'extinction réduit
    * $ V = k_0 d \sqrt{n_1^2-n_2^2} $ fréquence réduite
      * $ u^2 + v^2 = (V/2)^2 $
  * condition de guidage $ k_0^2n_2^2 < \beta < k_0^2n_1^2 $

Les équations de Maxwell en tenant compte des invariances donnent les résultats TE et TM. Les ondes guidées sont une combinaison de ces solutions (ne sont pas TEM).

==== Modes guidés TE ====

Si la condition de guidage est satisfaite, les équations de propagation s'écrivent : 
$$ \text{pour } |x| < d/2, \quad \frac{d^2E_y}{dx^2}+\alpha^2E_y=0, \quad \text{avec } \alpha^2 = k_0^2n_1^2-\beta^2 > 0 $$
$$ \text{pour } |x| > d/2, \quad \frac{d^2E_y}{dx^2}-\kappa^2E_y=0, \quad \text{avec } \kappa^2 = \beta^2 - k_0^2n_2^2 > 0 $$

Les solutions physiques sont :
$$ \text{pour } |x|<d/2 \quad E_y(x)=A\cos\alpha x + B\sin\alpha x $$
$$ \text{pour } x>d/2 \quad E_y(x) = D\exp -\kappa x $$
$$ \text{pour } x<-d/2 \quad E_y(x) = C\exp \kappa x $$

=== Solutions symétriques [antisymétriques] ===
Pour un guide d'onde symétrique, les solutions symétriques [antisymétriques] ont des solutions si $u\tan u=\sqrt{(V/2)^2-u^2}$, [$-u\cot u=\sqrt{(V/2)^2-u^2}$ ]

==== Approximation de guidage faible ====

L'approximation de guidage faible peut être faite quand les indices des deux milieux mis en jeu sont proches. Le paramètre de guidage $\Delta$ peut être approché en $ \Delta = \frac{n_1^2 - n_2^2}{2n_2^2} \simeq \frac{n_1-n_2}{n_2}$. De plus, le nombre de modes doit être faible, donc la fréquence réduite aussi.

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