====== Automatique ======

===== À retenir =====
  * PID
  * LQ
  * représentation d'état
  * transformée en Z
  * diagramme de Bode, de Nyquist
  * filtre
  * FTBO / FTBF
  * filtre de Kalman
  * temps discret / temps continu
  * commande par retour d'état
  * système stabilisable / commandable
  * forme de commandabilité / d'observabilité
  * bloqueur d'ordre zéro
  * approximation par euler avant
  * discrétisation exacte
  * représentation minimale
  * conditions de stabilité (temps discret module <1, temps continue partie réelle <0)

===== Représentation d'état et formes compagnon =====

  * x vecteur d'état
  * u vecteur de commande
  * y vecteur de mesure
  * A matrice d'état
  * B matrice de commande
  * C matrice d'observation
  * D matrice de transmission directe

vecteur d'état à temps continu $ x(t) = \left( \! \begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ x(t) \end{array} \! \right) $

équation du système à temps continu $ \left\lbrace \begin{array}{ll} \dot{x}(t) & = Ax(t) + Bu(t) \\ y(t) & = Cx(t) + Du(t) \end{array} \right. $

matrice de transfert à temps continu $ H(p) = C(pI - A)^{-1}B + D$

vecteur d'état à temps discret $ x_k = \left( \! \begin{array}{c} x_{k+1} \\ x_k \end{array} \! \right) $

équation du système à temps discret $ \left\lbrace \begin{array}{ll} x_{k+1} & = Ax_k + Bu_k \\ y_k & = Cx_k + Du_k \end{array} \right. $

==== Forme commandable ====

$A=\left( \begin{array}{ccccc}
-a_{n-1} & -a_{n-2} & \cdots & -a_{1} & -a_{0} \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
\end{array} \right)$
$B=\left( \begin{array}{c}
1\\0\\\vdots\\0\\0
\end{array}\right)$

$C=\left(\begin{array}{ccccc}b_{n-1} & b_{n-2} & \cdots & b_{1} & b_{0} \end{array}\right)$

Matrice de commandabilité (ci-dessous) de rang plein → système commandable

${\cal C} = [B\quad AB\quad A^2B\quad \cdots\quad A^{n-1}B]$

==== Forme observable ====

$A=\left( \begin{array}{ccccc}
-a_{n-1} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
-a_{n-2}  & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-a_{1} & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
-a_{0} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\end{array} \right)$
$B=\left( \begin{array}{c}
b_{n-1}\\b_{n-2}\\\vdots\\b_1\\b_0
\end{array}\right)$

$C=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right)$

Matrice d'observabilité (ci-dessous) de rang plein → système observable

${\cal O} = \left[\! \begin{array}{c}
C\\CA\\CA^2\\\vdots\\CA^{n-1} \end{array} \!\right]$

===== Le correcteur PID =====

Fonction de transfert 

$ H(p)=K_P\left( 1+\frac{1}{T_i p} + \frac{T_d p}{1+\tau_dp}\right) $

valeur typique : $ \tau_d=T_d/10 $

===== La commande LQ =====

Critère LQ : $ J(u) = \sum_{k\leq 0}x_k^TQx_k+u_k^TRu_k $, avec Q semi définie positive, R strictement positive

Théorème (version détaillée sur [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Commande_LQ|Wikipedia]])

Selon ce critère, l'équation de Ricatti algébrique discrète admet une solution P unique, symétrique et positive.

La loi de commande $u = -Kx + v$ stabilise le système et est optimale au sens de J avec $K = (B^TPB+R)^{-1}B^TPA$