====== Laser ======

===== Concepts à retenir =====

  * laser à 2, 3, 4 niveaux
  * pompage optique
  * condition d'oscillation
  * gain homogène / inhomogène
  * mode longitudinal / transversal
  * compétition des modes
  * laser impulsionnel : Q-switch et mode-lock
  * modulation de pertes (Q-switch)
  * synchronisation de phase (mode-lock)
  * matrices ABCD
  * équations de débit
  * condition de stabilité de la cavité

===== Formules à retenir =====

Inversion de population 
$$ \Delta n = \frac{\Delta n_0}{1+\frac{I}{I_S}} $$
^  Effets de saturation ^^^
| nombre de niveaux | inversion de population sans pompage | intensité de saturation |
| 2 | $$ \Delta n_0 = - \Delta n_t $$ | $$I_S = \frac{A}{2\sigma}$$ |
| 3 | $$ \Delta n_0 = n_t \frac{\sigma_PI_P-A}{\sigma_PI_P+A} $$ | $$I_S = \frac{\sigma_PI_P+A}{2\sigma}$$ |
| 4 | $$ \Delta n_0 = n_t \frac{\sigma_PI_P}{\sigma_PI_P+A} $$ | $$I_S = \frac{\sigma_PI_P+A}{\sigma}$$ |

Régime transitoire suite à un échelon de pompage ($\Delta n_{th} =$ inversion au seuil (threshold))
$$ \frac{dI}{dt} = \frac{I}{\tau_C\Delta n_{th}} (\Delta n - \Delta n_{th} ) $$
$$ \frac{d\Delta n}{dt} = \frac{1}{\tau} \left( \Delta n_0 - \Delta n - \frac{I}{I_S} \Delta n \right) $$
La formule n'est pas nécessairement à retenir, mais l'interprétation est que le temps de descente d'une impulsion est le temps de vie dans la cavité (temps de montée $\propto$ gain, temps de descente $\propto$ pertes).
==== En optique des lasers ====

Demi divergence du faisceau gaussien
$$ \theta = \frac{\lambda_\text{milieu}}{\pi w_o} $$
Distance de Rayleigh
$$ z_R = \frac{\pi w_0^2}{\lambda_\text{milieu}} $$
Dans une cavité plan-lentille-plan (à laquelle on peut se ramener)

formule de grandissement $$\frac{z_R'}{z_R} = -\frac{\overline{F'M_2'}}{\overline{FM_1'}} $$
formule mystérieuse : $$ zz' =ff' + z_Rz_R' $$


===== Ordres de grandeur =====

==== Ordre de grandeur des impulsions ====

| ^ mode lock ^ Q-switch ^
^ durée | < aller-retour (fs → ps) | > AR (ns) |
^ fréquence | $\frac{c}{2L} $ = 10 - 100 MHz | $\tau$ = 250 µs → 5 kHz |

===== Approximations =====

  * $\gamma >> \sigma I $
  * petit signal : $I<<I_S$ → $\alpha = \sigma n $ → $ G_0 = e^{\alpha d}$ 
  * faibles pertes
  * loin du seuil laser, on peut négliger les interférences aller/retour dans la cavité