Automatique

À retenir

PID
LQ
représentation d'état
transformée en Z
diagramme de Bode, de Nyquist
filtre
FTBO / FTBF
filtre de Kalman
temps discret / temps continu
commande par retour d'état
système stabilisable / commandable
forme de commandabilité / d'observabilité
bloqueur d'ordre zéro
approximation par euler avant
discrétisation exacte
représentation minimale
conditions de stabilité (temps discret module <1, temps continue partie réelle <0)

Représentation d'état et formes compagnon

x vecteur d'état
u vecteur de commande
y vecteur de mesure
A matrice d'état
B matrice de commande
C matrice d'observation
D matrice de transmission directe

vecteur d'état à temps continu $x(t) = \left( \! \begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ x(t) \end{array} \! \right)$

équation du système à temps continu $\left\lbrace \begin{array}{ll} \dot{x}(t) & = Ax(t) + Bu(t) \\ y(t) & = Cx(t) + Du(t) \end{array} \right.$

matrice de transfert à temps continu $H(p) = C(pI - A)^{-1}B + D$

vecteur d'état à temps discret $x_k = \left( \! \begin{array}{c} x_{k+1} \\ x_k \end{array} \! \right)$

équation du système à temps discret $\left\lbrace \begin{array}{ll} x_{k+1} & = Ax_k + Bu_k \\ y_k & = Cx_k + Du_k \end{array} \right.$

Forme commandable

$A=\left( \begin{array}{ccccc} -a_{n-1} & -a_{n-2} & \cdots & -a_{1} & -a_{0} \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \end{array} \right)$ $B=\left( \begin{array}{c} 1\\0\\\vdots\\0\\0 \end{array}\right)$

$C=\left(\begin{array}{ccccc}b_{n-1} & b_{n-2} & \cdots & b_{1} & b_{0} \end{array}\right)$

Matrice de commandabilité (ci-dessous) de rang plein → système commandable

${\cal C} = [B\quad AB\quad A^2B\quad \cdots\quad A^{n-1}B]$

Forme observable

$A=\left( \begin{array}{ccccc} -a_{n-1} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -a_{n-2} & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{1} & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_{0} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{array} \right)$ $B=\left( \begin{array}{c} b_{n-1}\\b_{n-2}\\\vdots\\b_1\\b_0 \end{array}\right)$

$C=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right)$

Matrice d'observabilité (ci-dessous) de rang plein → système observable

${\cal O} = \left[\! \begin{array}{c} C\\CA\\CA^2\\\vdots\\CA^{n-1} \end{array} \!\right]$

Le correcteur PID

Fonction de transfert

$H(p)=K_P\left( 1+\frac{1}{T_i p} + \frac{T_d p}{1+\tau_dp}\right)$

valeur typique : $\tau_d=T_d/10$

La commande LQ

Critère LQ : $J(u) = \sum_{k\leq 0}x_k^TQx_k+u_k^TRu_k$ , avec Q semi définie positive, R strictement positive

Théorème (version détaillée sur Wikipedia)

Selon ce critère, l'équation de Ricatti algébrique discrète admet une solution P unique, symétrique et positive.

La loi de commande $u = -Kx + v$ stabilise le système et est optimale au sens de J avec $K = (B^TPB+R)^{-1}B^TPA$