Interaction Lumière Matière

équation de taux pour les laser

$\frac{d\Pi_e}{dt} = -A\Pi_e + \frac{\sigma I}{\hbar\omega}(\Pi_f-\Pi_e)$

état atomique

$\langle\hat{d}\rangle=\langle\psi(t)|\hat{d}|\psi(t)\rangle = d(u\cos\omega t+v\sin\omega t)$

soit ${\cal P} = \varepsilon_0\chi E_0e^{-i\omega t} = \rho\langle\hat{d}\rangle$ et $\varepsilon_0(\chi'+i\chi'')E_0=\rhod(u+iv)$ d'où $\chi'=\frac{\rho du}{\varepsilon_0E_0} ; \chi''=\frac{\rho dv}{\varepsilon_0E_0}$

$w=\Pi_e(t)-\Pi_f(t)$

vecteur de Bloch $\left| \begin{array}{l} u \\ v \\ w \end{array} \right.$ dont les composantes sont liées par l'équation

$\left\lbrace \begin{array}{c l l l} \frac{du}{dt} = & -\delta v & & -\gamma du \\ \frac{dv}{dt} = & +\delta u & + \Omega\omega & -\gamma dv \\ \frac{dw}{dt} = & -\Omega v & & -\gamma_p(w-w_0) \end{array} \right.$

où l'on note

$\delta$ le désaccord $w-w_0$
$\gamma_d$ le taux de relaxation du dipôle = $\Gamma/2$
$\gamma_p$ le taux de relaxation de la population
$w_0$ la valeur de $w$ avant l'application du champ

dans le cas de l'émission spontanée, solution stationnaire

$w=\frac{w_0}{1+s}$
$u=-w_0\frac{2\delta}{\Omega}\frac{s}{1+s}$
$v=w_0\frac{\Gamma}{\Omega}\frac{s}{1+s}$

où $s=\frac{\Omega^2/2}{\delta^2+\Gamma^2/4}$ paramètre de saturation

taux d'émission spontanée (quantification du vide en électrodynamique quantique)

$\Gamma = \frac{d^2k^3}{3\pi\epsilon_0\hbar}$

$\Omega$ pulstation de Rabi définie par $\hbar\Omega = dE_0$